Teorema de Pitágoras - Cifuentes Moreno Laura Belén

Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras

Tema de 3° de Secundaria

Aprendizaje esperado: Formula, justifica y usa el teorema de Pitágoras

Formulación: 

El teorema de Pitágoras establece lo siguiente: 

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

  

Para emplear este teorema es necesario saber:

Ø Triángulo rectángulo

Debemos conocer todo lo que tenga que ver con el triángulo rectángulo ya que es con el que trabajaremos. Por ello, a continuación se presenta un video con respecto a este punto:

Ø Identificar un ángulo recto

Ya que la principal característica de un triángulo rectángulo es precisamente que uno de sus ángulos es recto, o mide 90°, que es lo mismo.

Ø Identificar los tipos de triángulos

Esto permitirá reconocer los triángulos rectángulos ya que pueden ser isósceles o escalenos. No confundirse aquí: Un triángulo isósceles podría ser un triángulo rectángulo, pero podría no serlo.

Un triángulo escaleno podría ser un triángulo rectángulo, pero podría no serlo.

En resumen:

Un triángulo isósceles es un triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto.

Un triángulo escaleno es un triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto.

Ø Identificar y definir las partes del triángulo rectángulo:

§  Cateto opuesto

§  Cateto adyacente 

§  Hipotenusa 

Ø Identificar la hipotenusa

Una vez identificado el ángulo recto en el triángulo, si es que existe, la hipotenusa es el lado que está frente a ese ángulo. La hipotenusa es siempre más larga que los catetos.

Ø Saber sumar/restar, multiplicar/dividir y elevar al cuadrado, calcular raíz cuadrada.

Estas operaciones matemáticas son necesarias para calcular el valor de la hipotenusa o algún cateto, según se necesite en la aplicación de la fórmula del teorema:

Aquí se puede usar calculadora como apoyo para los cálculos.

Usos del teorema de Pitágoras

• Conociendo los catetos, podemos calcular la hipotenusa con:

Por ejemplo

• Calcular un cateto, si conocemos el valor del otro cateto y el valor de la hipotenusa. Esto se logra despejando b o c, según sea el caso:

Ejemplo:

• Una escalera de 10m se apoya en una pared y tiene que alcanzar una ventana que está a 6m del suelo. ¿A qué distancia, sobre el suelo, hay que colocar la escalera?

Solución: La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. El ángulo recto de ese triángulo lo forman la pared y el suelo, por lo que la escalera es la hipotenusa, y por lo tanto el lado más largo.

Usamos la fórmula: 

Ejemplo 2: Hallar la distancia más corta para llegar del punto A al punto C:

Solución: Como se trata de un cuadrado todos los lados miden 5 m. La distancia más corta al punto A al C es una línea recta.

De donde podemos ver:

Para aplicar el teorema de Pitágoras No es necesario:

v Conocer la biografía de Pitágoras

Fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. No es necesario conocer la biografía de Pitágoras para poder dar una clase en nivel básico, en este caso en secundaria, mucho menos saber su trayectoria en descubrimientos e invenciones.

v Conocer la historia del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras fue comprobado en el siglo VI a.C. por el filósofo y matemático griego Pitágoras, pero se estima que pudo haber sido previo a su existencia, o demostrado bajo otra denominación. 

v Conocer de donde proviene la fórmula, ni quien la dedujo o usó por primera vez; aunque podrían ser datos curiosos o interesantes.

v Conocer más cosas de trigonometría, como senos, cosenos, tangentes, etc.

En este caso solo nos enfocaríamos en cómo resolver problemas en donde se use el teorema de Pitágoras, entonces no es necesario conocer o saber de trigonometría, solo que sí sería interesante ir aprendiendo un poco acerca de eso.

v Conocer las leyes de seno y coseno de los triángulos.

De igual manera no sería necesario conocer las leyes de seno y coseno para poder explicar el tema de Pitágoras.

v Conocer los demás tipos de ángulos de menor que 90° o mayor que 90°

Lo único que se necesita conocer es el ángulo recto por lo que los demás ángulos no necesitamos conocerlos.

v No necesitamos saber de Euclides ni de sus demostraciones con respecto al teorema

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

No es necesario hablar de Euclides, tal y como no hacemos mención de Pitágoras, porque es más difícil aprenderse la vida de personas, es por eso que solo nos enfocamos en cómo resolver problemas del teorema de Pitágoras. 

v No es necesario saber de la demostración de Pappus

Fue uno de los últimos grandes matemáticos griegos de la Antigüedad, conocido por su obra Synagoge (c. 340). Apenas se sabe nada de su vida, más que fue maestro en Alejandría y que tuvo un hermano llamado Hermodoro. Unos 625 años después que Euclides, Pappus​ parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de Pitágoras basada en la proposición I.36 de Los Elementos de Euclides: Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superficies equivalentes.

v No es necesario saber de la demostración de Bhaskara

Bhaskara II, el matemático y astrónomo hindú del siglo XII, dio la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c –izquierda-, en cuyo centro se forma otro cuadrado de lado (a-b).

v No es necesario conocer de la demostración de Leonardo da Vinci

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

v  Demostración de Garfield

James Abram Garfield (1831-1881), el vigésimo Presidente de los Estados Unidos, desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.
Garfield construye un trapecio de bases a y b, y altura (a+b), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c.

Con respecto a lo que no se necesita saber para aprender sobre el Teorema de Pitágoras anteriormente mencioné los puntos, pero va a depender de cada estudiante el querer saber esas cosas ya que no son importantes pero pueden ser interesantes saberlas. Sin embargo, las demostraciones de otros filósofos no es de más importancia que la del mismo Pitágoras.

Referencias bibliográficas:

Marta. (s/f). Teorema de Pitágoras. Material Didáctico - Superprof. Recuperado el 4 de abril de 2022, de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/teorema-de-pitagoras.html

Wikipedia contributors. (s/f-a). Pitágoras. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Pit%C3%A1goras&oldid=142646050

Wikipedia contributors. (s/f-b). Teorema de Pitágoras. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Pit%C3%A1goras&oldid=142647256